广义相对论与时空弯曲

                 广义相对论与时空弯曲

                            施郁 

1907年，爱因斯坦意识到，自由下落的人感受不到重力（也就是地球的引力）。这个想法帮助他将相对论推广到广义相对论，成为引力理论。 

分析一下自由下落的人的世界线，可以推理出，引力等效于时空弯曲。下落者身体不同部位与地心的连线方向不一样，因此所受引力的方向和大小是不一样的。而且在自由下落的过程中，身体各处所受引力不断变化。这导致自由下落者身上，每一点的世界线是弯曲的，而且从时间坐标相同、空间坐标相邻的两点出发，两条世界线渐行渐远。

这就好比，在一个球面上，蚂蚁沿着“尽量直”的路线爬行，而我们可以看到它是沿着一条大圆爬行。而且如果两个蚂蚁原本相邻，向近乎同一方向爬行，起先渐行渐远，方向也不再平行。这反映了球面的弯曲。  

所以引力等效于时空弯曲。广义相对论中，爱因斯坦方程给出了弯曲程度与物质的定量关系， 正如美国物理学家惠勒（John Wheeler）所说：“物质告诉时空如何弯曲，弯曲的时空告诉物质如何运动”。

Roger Penrose丨图源网络

1915年11月，爱因斯坦发表广义相对论。不到一个月，就收到原波茨坦天文台台长施瓦西寄来的两篇论文，一是关于一个质点的各向同性引力场，一是有质量的完美球体产生的引力场。它们是爱因斯坦方程的最早的严格解。爱因斯坦很高兴，分两次在科学院宣读了施瓦西的这两篇文章。当时施瓦西正在一战前线担任炮兵中尉，1916年5月，施瓦西因天孢疮去世，时年42岁。

施瓦西给出了有质量球体外面的时空间隔平方（当然，考虑极小的间隔，就好比对于变速运动，要定义瞬时速度，这是微积分的思想）：

左边代表时空间隔的平方，右边是用光速平方乘以时间间隔平方和空间间隔平方表达出来，不再是简单的二者之差。

这里对于空间部分，用了球坐标，有径向坐标r, 和两个垂直于径向的角度坐标。最后一项可以不看，它是垂直于径向的空间间隔平方，保持与平直空间情况一样，因为球对称使得引力是沿着径向。 

第二项是径向间隔的平方dr^2，现在它除以一个函数

光速平方乘以时间间隔平方是c^2dt^2，现在它乘以这个函数

这个时空间隔描写了时空弯曲和黑洞。当径向坐标等于施瓦西半径2GM/c^2（两倍的质量M乘以万有引力常数G，再除以光速的平方c），这个函数等于零。从这一点可以推论出，施瓦西半径就是视界，具有前面提到的视界性质。 

而在球体中心，r=0, 这个函数成为负无穷，从而密度和时空弯曲程度无穷大，因此中心是一个奇点。视界和奇点是黑洞的关键性质。 

图源丨诺奖官方材料

现在我们解释一下上面的诺奖资料图的左图，代表一个物体沿着黑洞的径向落入视界之内。奇妙的是，视界之内的空间（SPACE）的径向类似于视界外的时间(TIME), 所以图上在这里标了TIME，而在视界外的径向标记SPACE。诺奖文件没有解释为什么。

这是因为，径向间隔平方所除以的函数（也就是时间间隔平方所乘以的函数）

在视界之外(r大于2GM/c^2）是正的（大于0），而在视界之内(r小于2GM/c^2）是负的（小于0）。

因此，视界之外每点，时空间隔平方包含：光速平方乘以时间间隔平方减去径向空间间隔平方（各自乘以或除以一个正数）。而在视界之内每点，时空间隔平方包含：径向空间间隔平方减去光速平方乘以时间间隔平方（各自乘以或除以一个正数）。

这就使得进入视界之后，径向空间与时间的角色发生了互换。在视界之外，世界线只能走向未来，而在视界之内，世界线只能走向径向坐标的零点。因此进入视界的物质很快会到达奇点，变成奇点质量的一部分。奇点集中了黑洞的质量。 

1921年，曾经担任过法国总理的Paul Painlevé和瑞典视光学专家、诺贝尔生理学获医学奖得主Allvar Gullstrand分别得到爱因斯坦方程的新解，由此认为广义相对论不完备。爱因斯坦的犹太人同胞、德国外交部长Harry Kessler曾经为Painlevé带信给爱因斯坦，但是爱因斯坦觉得他的研究结果不重要[1]。

Gullstrand长期是诺贝尔物理学奖委员会委员，反对爱因斯坦获奖。1921年，他是爱因斯坦作为诺奖候选人的主要评审人，认为狭义相对论的效应在误差范围内，而广义相对论预言的水星近日点进动是否与测量一致还是未知。结果1921年没有颁奖。  

但是次年，提名爱因斯坦的人数空前，诺奖委员会在成员、瑞典物理学家Carl Oseen评审的基础上，向瑞典科学院建议，以光电效应的解释为理由授予爱因斯坦1921年诺奖。瑞典科学院通过[2]。1933年，比利时主教、宇宙学家George Lemaître指出，Painlevé和Gullstrand选择了与施瓦西不同的坐标系。

参考文献：

[1] Eisinger, J. Einstein on the road

[2] 施郁. 爱因斯坦的奇葩诺奖, 知识分子 2017-10-03